\begin{eqnarray} &=& equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } }, ©Copyright2020 大学受験数学の解き方.All Rights Reserved. ※ お知らせ: 高槻中の入試問題を高校数学を使って大人げない方法で解く、という動画を公開しました。, 次の極限を求めなさい。\[ \lim_{n\to\infty}(n^2-3n) \], 次の極限を求めなさい。\[ \lim_{n\to\infty}\frac{2n+4}{\sqrt{n^2+3n+5}} \], 次の極限を求めなさい。\[ \lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n}-n) \]. linebreaks: { automatic: true } } \frac{1}{2} HTML: ["input/TeX","output/HTML-CSS"], ©Copyright2020 大学受験数学の解き方.All Rights Reserved. 漸化式が与えられた数列の極限の問題を見たら、まず漸化式を解いてから極限を求めますよね。 でも、今回のようなルートを含む漸化式の極限の問題は、漸化式が解けないので、工夫しなければなりません。 &=& "HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"], \lim_{n\to\infty}(3n^2-5n^3)=\lim_{n\to\infty}n^3\left(\frac{3}{n}-5\right)=-\infty 式変形とはとても単純で、そのまま極限を飛ばしても不定形だけれどその式を変形したら極限が求まるということです。 簡単な例を紹介しましょう。 極限値 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ を求めよ。 実はこの問題は前回の記事でも紹介しました。 \end{eqnarray}となります。, 分母と分子は、それぞれ正の無限大に発散します。こういう場合は、【基本】数列の極限(無限大÷無限大の形)で見たように、分母分子を同じ数で割って考える、というのがよく使われる手法です。, 今の場合、分子を $n$ で割れば、収束するようになります。また、分母も計算すれば収束するようになり、 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{S(a)}{T(a)}\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\). &=& ©2016 - 2020 なかけんの数学ノート All rights reserved. tex2jax: { inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ], extensions: ["AMSmath.js","AMSsymbols.js","color.js","cancel.js"], \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n} \\[5pt]

&=& displayMath: [ ['$$','$$']], \begin{eqnarray} &=& &=& }); 前回、極限とは「定義域外における疑似代入」ということを学びました。極限がなんのためにあるのかはなんとなくわかってくれたでしょうか。, 「不定形」とは、極限を飛ばしたときに「$\frac{0}{0},  \frac{\infty}{\infty},  \infty-\infty $」などの形になるものですね。形としては他にも色々ありますが、要はそのままでは「極限値が定まらない形」ということです。, 「不定形」ってなんとなくわかったつもりではいるが結局なんだったのか?と思っている人は多いのではないでしょうか。しかし極限分野において「不定形」はとても意味があるものなんです。. TeX: { \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} \\[5pt] 2 \\[5pt] \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \\[5pt] MathJax.Hub.Config({ &=&

\lim_{n\to\infty}\frac{2n+4}{\sqrt{n^2+3n+5}} bm: ["\\boldsymbol{#1}", 1]}, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); まず最初の「入試問題として成立する」とは、どういうことかというと、例えば極限の問題の答えとして「0」や「$\infty $」や「振動」になってしまっては問題作成者からしたら困ります。, そんな中、勘で0とか$\infty $とか書いて当たってしまったらちゃんと解いている受験生と差をつけることができません。, しかし入試で出るのは不定形です。$\frac{0}{0}$や$\frac{\infty}{\infty}$などの不定形を答えに書いても絶対に正解になりませんよね。, なぜなら、不定形とは「定まらない形」。「極限値を求めよ」という問いに対して、答えとしては不適切です。, $\infty-\infty$という不定形の極限に出会ったとき、「前半の$\infty$の方が大きそうだから答えは$\infty$かなー」と考えてはいけません。, 入試における不定形の極限は必ず「収束」します。入試「問題」である以上、「答え」を必ずつけなければなりません。その答えが収束値です。だってそうしないと不定形のままで「定まらない形」、つまり答えが無いんですから。, 前回の話で言うと、「定義域外の値が出せない。しかし明らかに1に近づく!」という状況でも極限という概念を使えば「疑似的に」出せる。, 今回の話で言えば、「不定形で答えが定まらない!」という状況でも極限の知識を使えば値が「定まる」。, 「解決しない」→「じゃあどうする?」→「この知識を使ってみてはどうだろうか?」→「解決!」, 式変形とはとても単純で、そのまま極限を飛ばしても不定形だけれどその式を変形したら極限が求まるということです。, $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$, つまりこの「式変形」はその問題ごとに思いつくもので、「なんとなく」皆式変形して解いていると。, しかしながら、この式変形は「有限個」です。つまりパターンがあるんです。「こうきたらこう」という型を身に付けるべきもので、その場その場で思いつくものではありません。, ここの区別をしっかりしていないと、「考える」ことが増えまくって思考の無駄が増えます。, 勘違いしてほしくないですが、数学において「知識」は絶対に必要です。すべて考えていたら本来考えるべきところを、無駄な思考によって考え切れないことがあります。, というのは、人が一定時間に思考できる量は決まっています。テスト中、無駄なことばかり考えていたら時間を無駄にするのはもちろんですが、思考の「スタミナ」的なものも無駄にします。, なので覚えるべきところは例え数学であっても覚えてください。もちろん、丸暗記は良くないのでその理由も含めて解説します。, さきほどの式変形による不定形の解消方法のように、はさみうちの原理による方法も重要です。これも以下の記事で詳しく解説しました。, 「あれ?極限を飛ばしても$\frac{\infty}{\infty}$のままで求まらないよー泣」, 「問題」である以上、「答え」が必ずあります。その答えとは「収束値」です。一瞬でも答えが「$\infty$とか0かなーw」とよぎってはいけません。勘では当たらないようにできています。, なのであなたは「どうすればこの不定形が解消して収束値が求まるか?式変形かな?はさみうち使うのかな?」と考えなければいけません。, この分野はパターン性が強いので習得しやすい分野ですが、逆に言えば「型」ができていないと全く解けません。マジで0点です。. \lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{4}{n}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}} \\[5pt] \lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n}-n) \\[5pt] \begin{eqnarray} 【基本】数列の極限の性質で見たように、収束する数列同士の差や商の極限は、極限値を使って求めることができます。しかし、発散する場合には、【基本】数列の極限(無限大÷無限大の形)で見たような、工夫をして計算をする必要があります。, $n^2$, $3n$ は、どちらも正の無限大に発散します。この差 $n^2-3n$ の極限は、「無限大引く無限大だから0」ということにはなりません。「無限大」は普通の数のような計算はできません。, 今の場合は、 $n^2$ の方が大きくなるスピードが速いです。そのため、次のように変形してみます。\[ n^2-3n=n^2 \left(1-\frac{3}{n}\right) \]カッコの中は $1$ に収束します。 $n=1,2,3$ のとき、カッコ内は負や0となりますが、 $n$ を大きくしていくと、 $1$ に近づく、つまり、正の値をとるようになります。また、カッコの前にある $n^2$ は限りなく大きくなっていきます。そのため、\[ \lim_{n\to\infty}(n^2-3n)=\infty \]となります。, 「無限大引く無限大」の形になる場合、もっとも影響の大きいものでくくることで、極限値を求めることができる場合があります。他の例も挙げると、 &=& Macros: { processEscapes: true }, jax: ["input/TeX","output/HTML-CSS"], 数列の極限(カッコでくくる) 【基本】数列の極限の性質で見たように、収束する数列同士の差や商の極限は、極限値を使って求めることができます。しかし、発散する場合には、【基本】数列の極限(無限大÷無限大の形)で見たような、工夫をして計算をする必要があります。 $2^{2x}$ は $2^4$ に近づいていくので、\[ \lim_{x\to 2} (3^x-2^{2x}) = 3^2-2^4=-7 \]となります。 指数関数の極限(カッコでくくる) 例題2 extensions: ["tex2jax.js"],
& & \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alphaならば\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\alpha\), \(b_1=\frac{1}{2},b_{n+1}=\frac{1}{2}(1-b_n)\), \(b_n=\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\frac{1}{3}\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n+1}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^n+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha,\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n+1}=\alpha\), \(\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\frac{1}{3}\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\alpha\), \(|a_{n+1}-\alpha|\leqq r|a_n-\alpha|(|r|<1)\), \(|a_n-\alpha|\leqq r|a_{n-1}-\alpha|\leqq r^2|a_{n-2}-\alpha|\leqq\cdots\leqq r^{n-1}|a_1-\alpha|\), \(0\leqq|a_n-\alpha|\leqq r^{n-1}|a_1-\alpha|\), \(\displaystyle=\frac{(\sqrt{a_n+3}-2)(\sqrt{a_n+3}+2)}{(\sqrt{a_n+3}+2)} \), \(\displaystyle=\frac{a_n+3-4}{\sqrt{a_n+3}+2}\), \(\displaystyle=\frac{a_n-1}{\sqrt{a_n+3}+2}\), \(\therefore|a_{n+1}-1|\leqq\frac{1}{2}|a_n-1|\), \(a_{n+1}-\alpha=\sqrt{a_n+3}-1-\sqrt{\alpha+3}+1\), \(\displaystyle=\frac{a_n+3-\alpha-3}{\sqrt{a_n+3}+\sqrt{\alpha+3}}\), \(\displaystyle=\frac{a_n-\alpha}{\sqrt{a_n+3}+\sqrt{\alpha+3}}\), \(\therefore0\leqq|a_n-1|\leqq\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}(a_1-1)\), \(\therefore0\leqq|a_n-1|\leqq\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|a_n-1|=0\), \(\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=1\).

今回はルートを含む漸化式の極限について解説していきます。具体的にはこんな感じの問題です。, 極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ。(神戸大), 漸化式が与えられた数列の極限の問題を見たら、まず漸化式を解いてから極限を求めますよね。, でも、今回のようなルートを含む漸化式の極限の問題は、漸化式が解けないので、工夫しなければなりません。. \lim_{n\to\infty} \frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。最後の式の部分は、 $\dfrac{2+0}{1+0+0}$ と考えたわけですね。, 影響の一番大きいところを考えればいいので、例えば\[ \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(n+2)}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)} \]を考えたいときは、分母・分子を $n^3$ で割って、\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)}{\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{3}{n}\right)\left(2+\frac{5}{n}\right)} \]と変形します。こうすれば、 $\dfrac{1}{8}$ と求められますね。分母・分子を展開する必要はありません。, これは、はじめと同じ、「無限大 引く 無限大」の形ですが、 $n$ でくくっても計算できません。\[ n \left\{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right\} \]となりますが、このような「無限大 掛ける 0」の形も、ケースによって答えが変わってきます。それは、\[ n^2\times \frac{1}{n^3},\ n^2\times \frac{1}{n^2},\ n^2\times \frac{1}{n}\]の3つの例を考えればわかるでしょう。どれも、「無限大 掛ける 0」の形になっていますが、それぞれ、極限は、 $0$, $1$, 正の無限大、となります。, これは自力で思いつくのはなかなか難しいですが、分母の有理化のときに行った変形(参考:【標準】分母に項が複数あるときの有理化)を応用して求めることができます。 \end{eqnarray}最後の部分は、2つ目の例題で見た手法を使って、分母・分子を $n$ で割っています。こうすることで、極限を求めることができます。, ここでは、「無限大 引く 無限大」「無限大 割る 無限大」「無限大 掛ける 0」といった形となる場合の数列の極限を求める方法を見ました。ここで使った手法は今後もよく出てくるので、使えるように練習しておきましょう。. \lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{4}{n}}{\frac{1}{n}\sqrt{n^2+3n+5}} \\[5pt] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); でも現実はそうではないんです。自然界にも漸化式って色々あるんですけど、解ける漸化式っていうのはごく一部のラッキーなパターンなんです。, 当然ですが数Bでは解ける漸化式しか扱っていません。なので、「漸化式は解ける」っていう先入観を受験生は皆持ってしまいます。, そのため漸化式を見たら「解く」ことを最初に考えてしまいがちです。しかし漸化式を与えられても「そもそも漸化式を解く必要がない」こともあるかもしれませんよね?, 一般項を求めなくても、問題の要求に答えられるってことです。今回の例がまさにそれで、, 以前紹介した、「方程式の解は求まらないけど、その極限は求まる」という問題と非常に似ています。, これ、数学的に凄いんです。そもそも解けないのだから扱うことすら難しいのに、その極限は求まってしまう・・・。, 数学的に意味がありますよね。そして、数学的に意味があるテーマは入試でよく出ます。問題を作るのは数学者である教授ですからね。この手のパターンはとても好きです。, 解けないということは扱いにくい、というよりそもそも扱えない。よってはさみうちの原理を使いたい。そのために、極限を飛ばしたときに「ある極限値」に収束するような不等式を立てる必要がある。よって、最初に「ある極限値」を推定する, 「こんなのいっちゃっていいの?」と思うかもしれませんが全然言っちゃっていいんですよ。, のとき、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}を求めよ。$, 大学数学ではある数列が「収束するか」証明できるんですが、高校数学ではそんなの習いません。, よってこの$\alpha=\frac{1}{3}$は「収束する」という仮定のもとでの「推定値」にすぎないんですね。, よって$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=1$と推定できた。, そして例の如く、この推定した極限値に収束するような不等式を立てます。それがこちらです。, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$, また、漸化式の極限の推定値である1を両辺から引くと、なぜ最終的に右辺にも$a_n-1$の形が出てくるかというと、そもそも$\alpha$っていうのは, となって必ず右辺にも$a_n-\alpha$の形が出てきてくれるんですね。偶然ではありません。, つまり、どんな極限値でも左辺には$a_{n+1}-\alpha$,右辺には$a_n-\alpha$の形が現れてくるんです。, ここで,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=0$, 今回のテーマは頻出です。そして今回紹介した解き方は「知っていなければ解けない」類のものですし、有名なので出題されるとしてもあまり誘導はつきません。.


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